描写麦穗的诗，苏格拉底的麦穗

​蘇格拉底和弟子們走到一片麥田裏，風吹麥浪，陣陣秋意襲來。蘇格拉底對弟子們說，“你們從麥田的這一頭走到那一頭，中間可以拾起一株麥穗，我們看看誰能找到最大的麥穗。”他接着說“當然，你們隻有一次機會，一旦選定了，之後即便遇到更大的麥穗，也不能再采摘；而且你們也不能回頭去采摘那些已經錯過的大麥穗。”弟子們聽完之後，面面相觑。爲了拿到最大的麥穗，你會采取什麽樣的策略呢？當然，按照既定的策略，我們也許不能保證拿到最大的麥穗，但是我們可以使得拿到最大麥穗的概率最大化。也就是說，拿到最大麥穗的概率就是我們的收益。
假設麥田裏有n株麥穗，如果我們的策略是随機地選擇一株麥穗，那麽，我們的收益将是1n。
那麽，有沒有一種策略能夠比随機選擇更好一些呢？。
事實上，我們可以對麥穗的大小分布先觀察一段時間，通過我們觀察到的麥穗分布，我們就有了一些信息爲我們接下來的選擇提供依據，從而提升拿到最大麥穗的概率。爲了說明這種方法，我們考慮一個隻有“三株麥穗”的情景。
商場裏舉行抽獎活動，獲獎的顧客可以選擇在三件禮品裏挑一件。剛開始，顧客并不知道這三件禮品是什麽。然後，這三件禮品将被工作人員随機逐個展示出來，每件禮品展示出來後，顧客可以選擇要這件禮品，也可以pass掉這件禮品。如果顧客選擇pass，工作人員将展示下一件禮品，以此類推。那麽，使用什麽策略，可以讓顧客更有可能挑選到價值最高的禮品呢？我們假設這三件禮品分别是手套，電視，還有車子。顯然顧客是想要選到車子的，但是剛開始的時候，顧客并不知道這三件禮品是什麽。
讓我們來考慮一下以下這種策略：。
第一件禮品直接pass掉，僅僅把這件禮品的價值記下來；第二件禮品如果比第一件禮品貴，則選第二件禮品；否則，選第三件禮品。我們知道，三件禮品的出場順序總共有六種，如果我們采取随機選擇策略，我們将有13的概率抽到車子。但是，如果我們采取上面的策略，在不同的禮品出場順序下，我們将得到如下結果：。
手套→電視→車子：将會得到電視手套→車子→電視：将會得到車子電視→手套→車子：将會得到車子電視→車子→手套：将會得到車子車子→手套→電視：将會得到電視車子→電視→手套：将會得到手套我們可以看到，有三種排列的情況下，也就是12的概率，我們能拿到車子，而隻有16的概率，我們會拿到手套。這種策略的收益，顯然要比随機選擇要好。因爲我們首先對禮品進行了觀察，而我們接下來的策略也是基于我們觀察到的信息的，所以我們得到更好的結果也就理所當然了。
如果我們把我們的這種策略推廣到n件禮品，就變成了和蘇格拉底的麥穗一樣的問題。我們可以制定類似的策略：。
前r株麥穗直接pass掉，僅僅記下r株裏面最大麥穗的大小，記作M；接下來的麥穗如果比M要大，那就選這一株麥穗；如果到最後更好的麥穗都沒有出現，就選擇最後一株麥穗。如何選擇r那麽，我們應當如何選擇首先觀察多少麥穗呢？也就是如何确定r呢？如果我們觀察了太多，那麽我們很有可能會把最大的麥穗給pass掉。如果我們觀察的麥穗太少，我們很可能最後會選到一株大小平庸的麥穗。下面我們來計算對于一個确定的r，我們能找到最大麥穗的概率：。
注意到如果想要選中第k個，要滿足。
k比前面的麥穗都要大，而當k是最大的麥穗時，這一點是顯然滿足的。前k-1株麥穗中最大的麥穗在前r株裏，否則，這株較大的麥穗就會搶在k之前被選中。所以我們有上式中的推斷：。
接下來我們來估算當r變化時，Pr的最大值。我們考慮将Pr的表達式近似地連續化，得到：。
通過求導我們可以知道x=1e時，Pr取得最大值1e。其中e就是自然對數的底，e約等于2.71828。
因此，在麥田裏，當麥穗很多的時候，我們應當首先觀察前1e≈37%的麥穗，然後在接下來的麥穗中選擇一株比觀察到的所有麥穗還要大的一株麥穗。這樣，我們找到最大麥穗的概率就會接近1e！當n很大的時候，1e的收益和随機選擇策略得到的1n的收益相差甚遠。
結語現實生活中，以蘇格拉底的麥穗爲模型的場景有很多，這些場景都可以利用我們今天所讨論的策略。比如我們去買房子或者租房子，事先打算看十套房；我們打算和多個姑娘談戀愛，而最終隻和一個姑娘結婚；我們打算招聘一個會計師，而打算舉行六場面試；在炒股的時候我們想低買高賣，如何能夠更高概率找到這些最值點等等。
在數學中，蘇格拉底的麥穗這個問題的模型是最優停止理論的一個特例。這類問題還有什麽應用？是否存在比我們今天讨論的策略更優的策略？有興趣的朋友可以閱讀一下本文的參考文獻：OptimalStoppingandApplicationsThomasS.Ferguson,MathematicsDepartment,UCLA.。
總之，看完蘇格拉底的麥穗這個故事，我們明白了一個道理：千萬不要和初戀結婚啊！。